Question

求下列函數的值域:

(1);

(2)y=x-1-;

(3)y=|x-3|-|x-1|;

(4)y=sin²x+4cosx+1;

(5);

(6).

Answer 1

解析:(1)方法一:(配方法)?

.?

由于,?

故.

即值域為［-,1).?

方法二:(反函數法)原式可變形為?(x²-x)(1-y)=y.?

故x²-x=,(x-)²=+ ≥0,?

從而-≤y＜1.?

方法三:(判別式法)整理得?

(1-y)x²-(1-y)x-y=0,顯然y≠1.?

當y≠1時,Δ=(1-y)²-4(1-y)(-y)≥0.?

∴-≤y＜1.?

(2)由題意1-2x≥0,∴x≤.?

方法一:(換元法)令=t,則x= (t≥0).?

.?

當t≥0時,y為減函數,y≤,即值域為(-∞, ］.?

　　　　　　　　　

方法二:(單調性)當x≤時,1-2x為減函數,?為增函數,??

故y=x為增函數,所以y≤.?

(3)方法一:(分類討論法)?

據題意

畫出函數的草圖,可得函數的值域為［-2,2］.?

方法二:(數形結合法)?

此函數表示數軸上的點到坐標為3和1的兩點距離之差,借助數軸也可求得值域.?

(4)利用正、余弦函數的有界性,整理得?

y=2-cos²x+4cosx=-(cosx-2)²+6.?

令cosx=t(-1≤t≤1),則y=-(t-2)²+6在［-1,1］上為增函數,故-3≤y≤5.?

(5),令t=,則t≥2.?

若用基本不等式,由t＞0時,t+≥2,等號當且僅當t=1時成立,這與t≥2矛盾,故宜從單調性上考慮.?

因為y=t+在［1,+∞)上是增函數,所以在［2,+∞)上必為增函數,故y∈［,+∞).?

(6)方法一:sinx+ycosx=2y, =2y,?

其中,.?

由,得,4y²≤1+y².??

,即值域為［-,］.?

方法二:把y看成過點(2,0)和(cosx,- sinx)的直線的斜率.由于點(cosx,- sinx)在圓x²+y²=1上,故y也可看成是經過圓x²+y²=1上的點與點(2,0)的直線斜率,用數形結合法解決.