Question

設函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）若

lim

x→+∞

f(x)=a且f（|t|+2）＜f（4a），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱故函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的反函數(shù)為其本身所以可求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)然后令f^-1（x）=f（x）即可求出k．
（2）可在（1）的基礎上求出a然后判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性再根據(jù)單調(diào)性解不等式f（|t|+2）＜f（4a）即可．

解答：解：（1）∵y=f(x)=

kx+2

x-1

∴x=

2+y

y-k

∴f^-1（x）=

2+x

x-k

∵函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱
∴

2+x

x-k

=

kx+2

x-1

∴k=1
（2）由（1）知k=1∴a=

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

x+2

x-1

=

lim

x→+∞

1+ 2 x

1- 2 x

=1
∵f（|t|+2）＜f（4a）
∴f（|t|+2）＜f（4）
∵f（x）=

x+2

x-1

= 1+

3

x-1

在（1，+∞）單調(diào)遞減且|t|+2≥2＞1，4＞1
∴|t|+2＞4
∴t＞2或t＜-2

點評：本題主要考察了反函數(shù)的概念和利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．解題的關鍵是第一問要根據(jù)條件函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的圖象關于直線y=x對稱分析出函數(shù)f(x)=

kx+2

x-1

的反函數(shù)仍為其本身而對于第二問先利用極限的四則運算法則求出a的值然后可得出|t|+2≥2＞1，4＞1故要判斷f（x）=

x+2

x-1

= 1+

3

x-1

在（1，+∞）上的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值的大小脫去符號“f”從而得出t的取值范圍！