Question

已知平面向量=(–1), =().

（1）證明⊥;

（2）若存在不同時為零的實數k和t，使=+(t²–3) ，=–k+t，且⊥，試求函數關系式k=f(t);

（3）據（2）的結論，討論關于t的方程f(t)–k=0的解的情況.

Answer 1

（1）證明略，（2）k=t(t²–3),（3）當k>或k<–時，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點，則方程有一解；

當k=或k=–時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；當k=0，直線與曲線有三個交點，但k、t不同時為零，故此時也有兩解；當–<k<0或0<k<時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解.

解析:

(1)證明： ∵·==0，∴⊥

(2)解： ∵⊥,∴·=

即［+（t²–3) ］·(–k+t)=0，整理后得

–k²+［t–k(t²–3)］·+t(t²–3)·²=0

∵·=0, ²=4, ²=1

∴上式化為–4k+t(t²–3)=0，∴k=t(t²–3).

(3)解： 討論方程t(t²–3)–k=0的解的情況，

可以看作曲線f(t)=t(t²–3)與直線y=k的交點個數

于是f′(t)=(t²–1)=(t+1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t₁=–1,t₂=1  當t變化時，f′(t),f(t)的變化情況如下表 

t	(–∞,–1)	–1	(–1,1)	1	(1,+∞)
f′(t)	+	0	–	0	+
f(t)	↗	極大值	↘	極小值	↗

當t=–1時，f(t)有極大值，f(t)_極大值=；

當t=1時，f(t)有極小值，f(t)_極小值=–. 

而f(t)=(t²–3)t=0時，得t=–,0,. 

所以f(t)的圖象大致如右:  

于是當k>或k<–時，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點，則方程有一解；