Question

某企業(yè)有一條價(jià)值為m萬元的生產(chǎn)流水線，要提高其生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的產(chǎn)值，就要對該流水線進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)產(chǎn)值y萬元與投入的改造費(fèi)用x萬元之間的關(guān)系滿足：①y與（m-x）x²成正比；②當(dāng)時(shí)，；③，其中a為常數(shù)，且a∈[0，2]
（1）設(shè)y=f（x），求出f（x）的表達(dá)式；
（2）求產(chǎn)值y的最大值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)y與（m-x）x²成正比，建立關(guān)系式，再根據(jù)②求出比例系數(shù)，得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域時(shí)，要注意條件③的限制性．
（2）本題為含參數(shù)的三次函數(shù)在特定區(qū)間上求最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可求出最大值，注意分類討論．
解答：解：（1）∵y與（m-x）x²成正比，∴設(shè)y=f（x）=k（m-x）x²，又時(shí)，
∴解得k=4，從而有y=4（m-x）x²…（2分）
由解得
故f（x）=4（m-x）x²…（4分）
（2）∵f（x）=4mx²-4x³，∴f'（x）=4x（2m-3x）
令f'（x）=0解得x₁=0，…（5分）
（ⅰ） 若，即，當(dāng)x∈（0，時(shí)，f'（x）＞0
所以f（x）在[0，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，由于f（x）在，上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，f（x）取得最大值…（8分）
（ⅱ） 若，即時(shí)，當(dāng)x∈（0，時(shí)，
由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，上單調(diào)遞增，
故…（11分）
綜上可知：時(shí)，產(chǎn)值y的最大值為，此時(shí)投入的技術(shù)改造費(fèi)用為；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)值y的最大值為，此時(shí)投入的技術(shù)改造費(fèi)用為．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，函數(shù)的解析式、利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的最值及分類討論思想，屬于中檔題．