Question

已知函數(shù)在點處的切線方程為.
（1）求、的值；
（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當，且時，.

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用已知條件得到兩個條件：一是切線的斜率等于函數(shù)在處的導數(shù)值，二是切點在切線上也在函數(shù)的圖象上，通過切點在切線上求出的值，然后再通過和的值列有關、的二元一次方程組，求出、的值；（2）解法1是利用參數(shù)分離法將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉化為不等式在區(qū)間上恒成立，并構造函數(shù)，從而轉化為，并利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是構造新函數(shù)，將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉化為不等式在區(qū)間上恒成立問題，等價于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，對的取值進行分類討論，通過在不同取值條件下確定函數(shù)的單調性求出，圍繞
列不等式求解，從而求出的取值范圍；（3）在（2）的條件下得到，在不等式兩邊為正數(shù)的條件下兩邊取倒數(shù)得到，然后分別令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性來證明問題中涉及的不等式.
試題解析：（1），.
直線的斜率為，且過點，
，即解得，；
（2）解法1：由（1）得.
當時，恒成立，即，等價于.
令，則.
令，則.
當時，，函數(shù)在上單調遞增，故.
從而，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，
故.
因此，當時，恒成立，則.
所求的取值范圍是；
解法2：由（1）得.
當時，恒成立，即恒成立.
令，則.
方程（*）的判別式.
（�。┊�，即時，則時，，得，
故函數(shù)在上單調遞減.
由于，
則當時，，即，與題設矛盾；
（ⅱ）當，即時，則時，.
故函數(shù)在上單調遞減，則，符合題意；
（ⅲ）當，即時，方程（*）的兩根為，，
則時，，時，.
故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
從而，函數(shù)在上的最大值為.
而，
由（ⅱ）知，當時，，
得，從而.
故當時，，符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
（3）由（2）得，當時，，可化為，
又，從而，.
把、、、、分別代入上面不等式，并相加得，

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