Question

【題目】棋盤(pán)上標(biāo)有第0，1，2，，100站，棋子開(kāi)始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗集中營(yíng)）是，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為.

（1）求的值；

（2）證明：；

（3）求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）棋子跳到第3站有以下三種途徑：連續(xù)三次擲出正面，其概率在；第一次擲出反面，第二次擲出正面，其概率為；第一次擲出正面，第二次擲出反面，其概率為，因此 .

（2）易知棋子先跳到第站，再擲出反面，其概率為；棋子先跳到第站，再擲出正面，其概率為，因此有

，

即，

也即.

（3）由（2）知數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列.因此有.由此得到

.

由于若跳到第99站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.