Question

（本題滿分14分）

已知直線，圓.

（Ⅰ）證明：對(duì)任意，直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn).

（Ⅱ）過(guò)圓心作于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程.

（Ⅲ）直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，是否存在的值，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）軌跡的方程為.

（Ⅲ）存在，使得且.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

解：（Ⅰ）方法1：圓心的坐標(biāo)為，半徑為3…………………1分

圓心到直線距離………………2分

∴

∴即

∴直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)……………………4分

方法2：聯(lián)立方程組…………………………1分

消去，得………………2分

∴直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)………………………4分

方法3：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為.…1分

由可得：.

解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).……………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514413893755036/SYS201210251442229531569074_DA.files/image024.png">在圓C內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn).………………4分

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，由于°，

∴

∴點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓.………………7分

中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

∴所以軌跡的方程為.………………9分

（Ⅲ）假設(shè)存在的值，使得.

如圖所示，

有，……10分

又，，

其中為C到直線的距離.……………12分

所以，化簡(jiǎn)得.解得.

所以存在，使得且.……………………14分