Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，且與直線相切.

(1)求圓的方程。

(2)在圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且△的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的△的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) . (2)見解析.

【解析】試題分析：（1）設圓心是，由直線于圓相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式可求，進而可求圓的方程；（2）把點代入圓的方程可得， 的方程，結合原點到直線的距離，可求的范圍，根據弦長公式求出，代入三角形的面積公式，結合二次函數的性質可求最大值．

試題解析：（1）設圓心是，它到直線的距離是，解得

或 (舍去),

所以所求圓的方程是.

（2）存在，理由如下：因為點在圓上，所以，

且.

又因為原點到直線的距離，

解得，而，

所以,

因為，所以當，即時， 取得最大值，

此時點的坐標是或， 的面積的最大值是.