Question

選修4-5：不等式選講．
已知函數f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函數y=f（x）的圖象；
（2）對?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f（x）=|x+1|+|x-3|的解析式為

2-2x ， x≤-1 4  ，  -1＜x＜3 2x-2 ，  x≥3

，如圖所示．
（2）對?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，而函數f（x）的最小值為4，故有4≥a²-3a恒成立，即 a²-3a-4≤0，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=|x+1|+|x-3|=

2-2x ， x≤-1 4  ，  -1＜x＜3 2x-2 ，  x≥3

，如圖所示：

（2）對?x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，而函數f（x）的最小值為4，4≥a²-3a恒成立，即 a²-3a-4≤0，
解得-1≤a≤4，
故實數a的取值范圍為[-1，4]．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，函數的恒成立問題，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．