Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=1，a₁=1，試比較$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$與$\frac{n+2}{2}$的大小并證明．

Answer 1

分析 由已知求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$．

解答 解：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$．
證明如下：由a_n+1-a_n=1，a₁=1，知數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是1，公差為1的等差數(shù)列，
∴通項(xiàng)公式為a_n=n．
要證$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$≥$\frac{n+2}{2}$，
只要證：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n+2}{2}$，下面用數(shù)學(xué)歸納證明：
n=1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+2}{2}$，結(jié)論成立，
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{25}{12}$$＞\frac{24}{12}=2$，結(jié)論成立；
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥$\frac{k+2}{2}$，
那么：n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＞$\frac{k+2}{2}$+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{k+3}{2}$，即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜上所述，n∈N，結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)學(xué)歸納法與放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．