Question

如圖所示，流程圖給出了無窮整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足的條件，a₁∈N₊，且當(dāng)k=5時，輸出的S=；當(dāng)k=10時，輸出的S=．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）是否存在最小的正數(shù)M使得T_n≤M對一切正整數(shù)n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，從而可得兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18又∵a₁d=a₆所以可求數(shù)列通項；
（2）由題意可得，進(jìn)一步有當(dāng)n≥5時，T_n+1-T_n＜0；當(dāng)n≤4時，T_n+1-T_n＞0，從而當(dāng)n=5時，T_n有最大值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為利用最值解決恒成立問題．
解答：解：（1）由題設(shè)知
又∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴即
兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18
又∵a₁d=a₁（a₁+5d）=a₁²-90，∴a₁²=81，
∴a₁=9，a₁=-9舍，∴d=-2，∴a_n=11-2n
（2）．①
①式兩邊同乘得．②
②-①得．
∴=
∴
又∵．
當(dāng)n≥5時，∵T_n+1-T_n＜0；當(dāng)n≤4時，
∵T_n+1-T_n＞0∴當(dāng)n=5時，T_n有最大值．
∵T_n≤M恒成立，∴，
∴M的最小值為．
點評：本題考查數(shù)列、算法與函數(shù)的綜合問題，本題解題的關(guān)鍵利用錯位相減法求數(shù)列的和，再用函數(shù)的思想來解題，本題是一個綜合題目，難度可以作為高考卷的壓軸題．