Question

18．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα•t}\\{y=sinα•t}\end{array}$（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），曲線C的極坐標方程為ρ²-10ρcosθ+17=0．
（1）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（2）當α=$\frac{π}{6}$時，設P（1，0），若直線l與曲線C有兩個交點是A，B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）圓的普通方程為x²-10x+y²+17=0，將直線l的參數(shù)方程代入得：t²-8tcosα+8=0，利用△=（8cosα）²-32≥0，即可求α的取值范圍；
（2）利用參數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）圓的普通方程為x²-10x+y²+17=0，將直線l的參數(shù)方程代入得：t²-8tcosα+8=0①，
△=（8cosα）²-32≥0⇒${cos^2}α≥\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤cosα≤1$或$-1＜cosα≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴α的取值范圍為：$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$；
（2）設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
由①知$α=\frac{π}{6}$時，將①化為${t^2}-4\sqrt{3}t+8=0，{t_1}+{t_2}=4\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=8$，
所以：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查參數(shù)的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．