Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，，求的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而求得的最大值；

（2）先求導(dǎo)數(shù)，，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由分子確定，先分和討論，時(shí)，易得，當(dāng)時(shí)，將看成關(guān)于的二次函數(shù)，由確定的符號(hào)，從而判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）當(dāng)，時(shí)，，

此時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，

由得：；由得：，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

在上單調(diào)遞減，所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，

（i）當(dāng)，即時(shí)，

對(duì)任意的恒成立，即在上單調(diào)遞減，

所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，記方程的兩根分別為，，

則，，所以，都大于0，

即在上有2個(gè)左右異號(hào)的零點(diǎn)，

所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

綜上所述時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè).