Question

1．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，∠AF₂B=90°，則橢圓C的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由條件可設(shè)|BF₁|=2t，|AF₁|=3t，由橢圓的定義，可得|AF₂|=2a-3t，|BF₂|=2a-2t，運用勾股定理，可得t=$\frac{1}{3}$a，求出cosB，△F₁BF₂中，運用余弦定理和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，可設(shè)|BF₁|=2t，|AF₁|=3t，
由橢圓的定義，可得|AF₂|=2a-3t，|BF₂|=2a-2t，
由∠AF₂B=90°可得|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²，
即有（5t）²=（2a-3t）²+（2a-2t）²，
解得t=$\frac{1}{3}$a，|AB|=$\frac{5}{3}$a，|BF₂|=$\frac{4}{3}$a，
在△ABF₂中，cosB=$\frac{|B{F}_{2}|}{|AB|}$=$\frac{4}{5}$，
在△F₁BF₂中，cosB=$\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{16}{9}{a}^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{2}{3}a•\frac{4}{3}a}$=$\frac{4}{5}$，
化簡可得$\frac{9}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{20}$，
即e²=$\frac{1}{5}$，即為e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的定義，三角形的勾股定理和余弦定理，考查向量共線定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．