Question

5．若函數(shù)y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析 函數(shù)y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$=-cos²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，令t=cosx，則t∈[-1，1]，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論可得答案．

解答 解：函數(shù)y=sin²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{3}{2}$=-cos²x+acosx-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，
令t=cosx，則t∈[-1，1]，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$，
由y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$的圖象是開口朝下，且以直線t=$\frac{a}{2}$為對稱的拋物線，
故當(dāng)$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2時，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，1]上為減函數(shù)，此時當(dāng)t=-1時，函數(shù)取最大值=-1-a-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=-$\frac{5}{3}$（舍去）；
當(dāng)-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2時，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，$\frac{a}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，1]上為減函數(shù)，此時當(dāng)t=$\frac{a}{2}$時，函數(shù)取最大值=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=1-$\sqrt{7}$，或a=1+$\sqrt{7}$（舍去）；
當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時，y=-t²+at-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$在[-1，1]上為增函數(shù)，此時當(dāng)t=1時，函數(shù)取最大值=-1+a-$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a=5；
綜上所述，a=1-$\sqrt{7}$，或a=5

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡求值與變換，難度中檔．