Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-e^1-x，g（x）=a（x²-1）-$\frac{1}{x}$．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）記h（x）=g（x）-f（x）+$\frac{{e}^{x}-ex}{x{e}^{x}}$，討論h（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f（e）的值，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問(wèn)題等價(jià)于a（x²-1）-lnx＞$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$在（1，+∞）恒成立，設(shè)k（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-ex}{{xe}^{x}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
又f（1）=-1，f（e）=1-e^1-e=1-$\frac{e}{{e}^{e}}$＞0，
故函數(shù)y=f（x）在（1，e）內(nèi)存在零點(diǎn)，
∴y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；
（2）h（x）=a（x²-1）-$\frac{1}{x}$-lnx+e^1-x+$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$=ax²-a-lnx，
h′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）遞減，
當(dāng)a＞0時(shí)，由h′（x）=0，解得：x=±$\frac{1}{\sqrt{2a}}$（舍取負(fù)值），
∴x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，
x∈（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
綜上，a≤0時(shí)，h（x）在（0，+∞）遞減，
a＞0時(shí)，h（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）遞減，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）遞增；
（3）由題意得：lnx-$\frac{e}{{e}^{x}}$＜a（x²-1）-$\frac{1}{x}$，
問(wèn)題等價(jià)于a（x²-1）-lnx＞$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$在（1，+∞）恒成立，
設(shè)k（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-ex}{{xe}^{x}}$，
若記k₁（x）=e^x-ex，則${{k}_{1}}^{′}$（x）=e^x-e，
x＞1時(shí)，${{k}_{1}}^{′}$（x）＞0，
k₁（x）在（1，+∞）遞增，
k₁（x）＞k₁（1）=0，即k（x）＞0，
若a≤0，由于x＞1，
故a（x²-1）-lnx＜0，故f（x）＞g（x），
即當(dāng)f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立時(shí)，必有a＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)h（x）=a（x²-1）-lnx，
①若$\frac{1}{\sqrt{2a}}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
由（2）得x∈（1，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$），h（x）遞減，x∈（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞），h（x）遞增，
故h（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＜h（1）=0，而k（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＞0，
即存在x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$＞1，使得f（x）＜g（x），
故0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜g（x）不恒成立；
②若$\frac{1}{\sqrt{2a}}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，
設(shè)s（x）=a（x²-1）-lnx-$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{e}^{x}}$，
s′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$，
由于2ax≥x，且k₁（x）=e^x-ex＞0，
即$\frac{e}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{x}$，故-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞-$\frac{1}{x}$，
因此s′（x）＞x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＞$\frac{{x}^{2}-2+1}{{x}^{2}}$=$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$＞0，
故s（x）在（1，+∞）遞增，
故s（x）＞s（1）=0，
即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，
綜上，a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、考查轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．