Question

3．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x+3，\;\;x≤0\\-{x^2}-2x+3，\;\;x＞0\end{array}\right.$，當(dāng)x∈[a，a+1]時(shí)不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是-2．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)，討論其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出a≥2x在x∈[a，a+1]時(shí)恒成立，只需求出右式的最大值即可．

解答 解：二次函數(shù)x²-4x+3的對(duì)稱軸是x=2；
∴該函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減；
∴x²-4x+3≥3；
同樣可知函數(shù)-x²-2x+3在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴-x²-2x+3＜3；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
∴x+a≤2a-x恒成立，
∴a≥2x在x∈[a，a+1]時(shí)恒成立，
∴a≤-2，
故答案為-2．

點(diǎn)評(píng) 考查了分段函數(shù)的單調(diào)性判斷和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．