Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD中，AD=CD=4，AD1=5，M是線(xiàn)段B1D1的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面D1AC；
（2）求直線(xiàn)DD1與平面D1AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD中，

∵AD=4，AD1=5，∴DD1= =3，

以D為原點(diǎn)，DA，DA，DD1分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

根據(jù)題意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），

B1（4，4，3），D1（0，0，3），線(xiàn)段B1D1的中點(diǎn)為M（2，2，3），線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為N（2，2，0）．

∴ =（﹣2，﹣2，3）， =（﹣2，﹣2，3）．∴ ∥ ，∴BM∥ND1．

∵BM平面D1AC，ND1平面D1AC，∴BM∥平面D1AC

（2）解：∵ =（0，0，3）， =（﹣4，4，0）， =（﹣4，0，3），

設(shè)平面D1AC的法向量為 =（x，y，z），

根據(jù)已知得 =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，

取x=1，可得y=1，z= ，∴ =（1，1， ）是平面D1AC的一個(gè)法向量，

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴直線(xiàn)DD1與平面D1AC所成角的正弦值等于

【解析】（1）以D為原點(diǎn)，DA，DA，DD1分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，由坐標(biāo)法可證 ∥ ，進(jìn)而可得BM∥ND1 ． 由線(xiàn)面平行的判定定理可得；（2）設(shè)平面D1AC的法向量為 =（x，y，z），根據(jù) =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，可求，進(jìn)而可得cos＜ ， ＞，即得所求．
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面平行的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．