Question

已知函數(shù)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷，定義：

，，其中表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”

（1）若，試寫出，的表達(dá)式；

（2）已知函數(shù)試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”，

如果是，求出對(duì)應(yīng)的k，如果不是，請(qǐng)說明理由；

（3）已知，函數(shù)是[0,b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍

Answer 1

 解：（1）由題意可得：，。

    （2），，

    當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，

綜上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)”。

（3），令得或。

函數(shù)的變化情況如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。

（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，。因?yàn)?sub>是上的“二階收縮函數(shù)”，所以，

①對(duì)恒成立；

②存在，使得成立。

①即：對(duì)恒成立，由解得或。

要使對(duì)恒成立，需且只需。

②即：存在，使得成立。

由解得或。

所以，只需。

綜合①②可得。

（i i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，顯然當(dāng)時(shí)，不成立。

（i i i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，顯然當(dāng)時(shí)，不成立。

綜合（i）（i i）（i i i）可得：。