Question

（08年新建二中二模）如圖,在四棱錐中,平面平面,,,是的中點(diǎn).  

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求與平面所成角的正切值；

(Ⅲ)求二面角的大小.

Answer 1

解析： 解：(Ⅰ)如圖,取中點(diǎn),連結(jié)、.∵是的中點(diǎn),

        ∴且.又∵, ,

        ∴且.∴四邊形是平行四邊形,故得.

         又∵平面,平面,∴平面.

    (Ⅱ)取中點(diǎn),連結(jié),,∵,∴.∵平面平面, ∴平面.∴是在平面內(nèi)的射影,∴是與平面所成的角.由已知,∴四邊形是直角梯形,. 設(shè),則BD=,在中,易得,∴, .又∵,∴是等腰直角三角形,.

       ∴.

∴在中,.

    (Ⅲ)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線交于于點(diǎn),連結(jié),則是在平面 內(nèi)的射影,故,∴是二面角的平面角,由,,

 又,∴.在中,.

        ∴二面角的大小為.

解：(Ⅰ)同解.

   (Ⅱ)設(shè),同解中的(Ⅱ)可得.如圖,以點(diǎn)為原

     點(diǎn),所在直線為軸, 所在直線為軸,過(guò)點(diǎn)且垂直于

         平面的直線與軸建立空間直角坐標(biāo)系..

         則,P,則.

         平面的一個(gè)法向量為,

∴.可得與平面所成角的正弦值為,∴與平面所成角的正切值為.

   (Ⅲ)易知,則.設(shè)平面的一個(gè)法向量,

       則.令,可得.∴,故二面角的大小為.