Question

已知二次函數(shù)f(x)=x²+ax（）．

（1）若函數(shù)y=f(sinx+cosx)()的最大值為，求f(x)的最小值；

（2）當(dāng)a>2時(shí),求證：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求的值域，再討論a的范圍，根據(jù)最大值，求最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根據(jù)二次函數(shù)求結(jié)論.

試題解析：(1)令，，        2分

，當(dāng)a<0時(shí)，t=–2時(shí)，，

解得：

此時(shí)，．            2分

當(dāng)時(shí)，t=2時(shí)，，解得：

此時(shí)，

綜合上述，條件滿足時(shí)，的最小值為              2分

(2)x∈R，且

又，故設(shè)，則有

設(shè)(其中t∈(0，1))           2分

             2分

令，得

當(dāng)時(shí)，，所以在(0，)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以在(，1)單調(diào)遞增，

時(shí)取最小值等于

即有          3分

當(dāng)a>2時(shí)，的對稱軸，

上單調(diào)遞增，

          2分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2、二次函數(shù)；3、導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.