Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.

（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（2）設(shè)為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

(1) 或；(2) .

【解析】

試題分析：（1）涉及到圓的弦長(zhǎng)問題，我們一般利用弦心距，弦的一半，相應(yīng)半徑所構(gòu)成的直角三角形，本題中由弦長(zhǎng)為，半徑為2，可求得弦心距為1，此即為圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可求得斜率．利用方程思想求時(shí)要注意直線斜率不存在即直線與軸垂直的情形．否則可能漏．（2）由（1）的分析可知直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等可得圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等，所以我們可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程分別為，，利用圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等列出關(guān)于的方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有無窮解問題，從而得解．

試題解析：（1）設(shè)直線的方程為，即

由垂徑定理得圓心到直線的距離

結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得

所求直線的方程為或，即或

（2）設(shè)點(diǎn)，直線的方程分別為

即

由題意可知圓心到直線的距離等于到直線的距離

即，化簡(jiǎn)得，關(guān)于的方程由無窮多解，則有

，故.

考點(diǎn)：(1)點(diǎn)到直線距離公式；（2）方程解的個(gè)數(shù)問題．