Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)重合，且點(diǎn)A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，過焦點(diǎn)F作一條直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-7，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得a²-b²=1，再將A的坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程8x²+9y²=72，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得m，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
即有a²-b²=1，
代入點(diǎn)A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{^{2}}$=1，
解得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）F（1，0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，
代入橢圓方程8x²+9y²=72，
可得（9+8m²）y²+16my-64=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-$\frac{16m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{64}{9+8{m}^{2}}$，
由x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）•（-$\frac{64}{9+8{m}^{2}}$）+m（-$\frac{16m}{9+8{m}^{2}}$）+1=-7，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有直線l的方程為x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程和a，b，c的關(guān)系，考查直線方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．