Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn).

（2）

【解析】

（1）根據(jù)的根的情況，對的值進(jìn)行討論，從而得出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）由（1）得，借助此等式將不等式中的進(jìn)行換元，構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，得出的取值范圍.

（1）由，

得.

令，得，

即，

令，則，且，

由得.

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減.

所以，，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)，

方程有兩解，不妨設(shè)為

故當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，

即時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)，恒成立，故單調(diào)遞減，

即時(shí)，沒有極值點(diǎn).

（2）不妨設(shè)，

由（1）知，，

則，

兩邊取對數(shù)，所以，

所以，

即.

令，，

則，.

因?yàn)?/span>，

即，

所以，

即，

設(shè)，則，

且.

易知.記，則，

且，

考查函數(shù)，.

①當(dāng)時(shí)，，

則，即，

所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，

有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，且，，

不妨設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，則，

所以在上單調(diào)遞增，

故存在，使得，

所以，當(dāng)時(shí)，不符合題意，

綜上，的取值范圍是.