Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=6，點(diǎn)在拋物線y²=x+1上；數(shù)列{b_n}中，點(diǎn)B_n（n，b_n）在過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上．

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；（文理共答）

（Ⅱ）若f（n）=，問是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；（文理共答）

（Ⅲ）對(duì)任意正整數(shù)n，不等式≤0成立，求正數(shù)a的取值范圍．（只理科答）

Answer 1

考點(diǎn)：

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列與不等式的綜合．

專題：

綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

（Ⅰ）將點(diǎn)代入拋物線y²=x+1，得a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n；過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，把點(diǎn)B_n（n，b_n）代入能求出b_n．

（Ⅱ）由f（n）==，利用題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在唯一的k=4符合條件．

（Ⅲ）由﹣≤0，知a≤，設(shè)f（n+1）=，利用構(gòu)造法能求出正數(shù)a的取值范圍．

解答：

解：（Ⅰ）將點(diǎn)代入拋物線y²=x+1，

得a_n+1=a_n+1，

∴a_n+1﹣a_n=d=1，

∴a_n=a₁+（n﹣1）•1=n+5，

∵過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線方程為y=2x+1，

點(diǎn)B_n（n，b_n）在過點(diǎn)（0，1），以方向向量為（1，2）的直線上，

∴b_n=2n+1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）==，

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k+27為奇數(shù)，

∴f（k+27）=4f（k），

∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+27為偶數(shù)，

∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=（舍去）

綜上所述，存在唯一的k=4符合條件．

（Ⅲ）由﹣≤0，

即a≤，

設(shè)f（n+1）=，

∴=

=

=

=，

∴f（n+1）＞f（n），即f（n）遞增，

∴f（n）_min=f（1）==，

∴0＜a≤．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．