Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）當t∈[-2，0]時，求函數(shù)g（t）的解析式；
（3）設函數(shù)h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中實數(shù)k為參數(shù)．，滿足關于t的不等式$\sqrt{2}$k-5g（t）≤0有解，若對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積運算，二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的對稱軸求出函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）由（1）求出函數(shù)的周期性，由正弦函數(shù)的圖象畫出f（x）的圖象，根據題意和圖象對t分類討論，由正弦函數(shù)的性質分別求出函數(shù)f（x）的最值，以及g（t）的解析式；
（3）由題意可得函數(shù)H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分類討論求得k的范圍．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$），$\sqrt{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）cos（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）+$\sqrt{2}$cos²（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{8}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{4}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$[1+cos（$\frac{π}{2}x-\frac{π}{4}$）]=$sin\frac{π}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由$\frac{π}{2}x=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，x=1+2k（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程是x=1+2k（k∈Z）；
（2）由（1）得，f（x）=$sin\frac{π}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期是4，
由t∈[-2，0]得，t+1∈[-1，1]，
畫出函數(shù)f（x）的部分圖象，如右圖，
當-2≤t＜-$\frac{3}{2}$，時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上，
最小值為m（t）=$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值為M（t）=f（t）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=1+sin$\frac{πt}{2}$；
當-$\frac{3}{2}$≤t＜-1時，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為m（t）=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值為M（t）=f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=1+cos$\frac{πt}{2}$，
當-1≤t≤0時，在區(qū)間[t，t+1]上，最小值為m（t）=f（t）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
最大值為M（t）=f（t+1）=sin$\frac{πt+π}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=cos$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（t）=M（t）-m（t）=cos$\frac{πt}{2}$-sin$\frac{πt}{2}$=$\sqrt{2}cos（\frac{πt}{2}+\frac{π}{4}）$，
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sin\frac{πt}{2}，-2≤t＜-\frac{3}{2}}\\{1+cos\frac{πt}{2}，-\frac{3}{2}≤t＜-1}\\{\sqrt{2}cos（\frac{πt}{2}+\frac{π}{4}），-≤t≤0}\end{array}\right.$；
（3）函數(shù)f（x）=sin$\frac{πt}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的最小正周期為4，
∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．
函數(shù)h（x）=2^|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，
對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得h（x₂）=H（x₁）成立，
即函數(shù)H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．
∵h（x）=|2^|x-k|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-k}，x≥k}\\{{2}^{k-x}，x＜k}\end{array}\right.$，
①當k≤4時，h（x）在（-∞，k）上單調遞減，在[k，4]上單調遞增．
故h（x）的最小值為h（k）=1；
∵H（x）在[4，+∞）上單調遞增，故H（x）的最小值為H（4）=8-2k．
由8-2k≥1，求得k≤$\frac{7}{2}$．
②當4＜k≤5時，h（x）在（-∞，4]上單調遞減，h（x）的最小值為h（4）=2^k-4，
H（x）在[k，4]上單調遞減，在（k，+∞）上單調遞增，
故H（x）的最小值為H（k）=2k-8，由$\left\{\begin{array}{l}{4＜k≤5}\\{2k-8≥{2}^{k-4}}\end{array}\right.$得，k=5，
綜上可得，k的范圍為（-∞，$\frac{7}{2}$]∪{5}．

點評 本題考查向量的數(shù)量積運算，三角恒等變換中的公式，正弦函數(shù)的圖象與性質，指數(shù)函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的能成立、函數(shù)的恒成立問題，考查分類討論思想，數(shù)形結合思想，化簡、變形能力，屬于難題．