Question

3．已知有下列四個命題，其中正確的有①③④
①若 p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件；
②命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1＜3x”；
③設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的否命題是真命題；
④若x，y，z∈R⁺則$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$≥3．

Answer 1

分析 ①根據(jù)原命題與逆否命題為等價命題可判斷；
②x²+1＞3x的反面是x²+1≤3x；
③根據(jù)逆命題與否命題為等價命題可以判斷；
④根據(jù)多個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)可以判斷．

解答 解：①若 p是q的充分不必要條件，
∴p⇒q，其逆否命題也成立，
∴￢q⇒￢p，
∴￢p是￢q的必要不充分條件，故正確；
②命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故錯誤；
③設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的逆命題是
若x²+y²=0，則xy=0”顯然成立，故否命題是真命題；
④根據(jù)多個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)可知，
x，y，z∈R⁺則$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$≥3，故正確．

點評 考查了四種命題的等價關(guān)系和命題的否定形式和多個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)的概念．