Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為，，三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出最大值.

（2）由函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)可知在上存在兩不等的實(shí)根，令，從而可知，可求出的取值范圍，結(jié)合韋達(dá)定理可求出，結(jié)合令，在上的單調(diào)性，可證明.

解：（1）由題意知，定義域?yàn)?/span>，且，

當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)對成立，

則在上是增函數(shù)，此時(shí)最大值為，

當(dāng)時(shí)，由得，由，

取，則時(shí)，；時(shí)，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又

則當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)，即時(shí)，在上的最大值為，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最大值為1.

（2）要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上存在兩不等的實(shí)根，

令，則對稱軸為，則，解得，

由韋達(dá)定理知，

.

令，，，在上單調(diào)遞減，

時(shí)，，.