Question

15．如圖所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，過點(diǎn)C的直線VC垂直于平面ABC，D、E分別為線段VA、VC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（1）當(dāng)DE⊥平面VBC時(shí)，判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)D、E、F分別為線段VA、VC、AB上的中點(diǎn)，且VC=2BC時(shí)，求二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明DE∥AC，即可判斷直線DE與平面ABC的位置關(guān)系；
（2）BE，DF所成角的大小=二面角B-DE-F的大小，利用余弦定理，即可求解．

解答 解：（1）DE∥平面ABC．
∵VC?平面VBC，DE⊥平面VBC，
∴DE⊥VC，
∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，
∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，
∵DE?平面ABC，AC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（2）∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，
∵D，F(xiàn)分別為VA，AB的中點(diǎn)，
∴DF∥VB，∴DE⊥DF，
∴BE，DF所成角的大小=二面角B-DE-F的大�。�
∵VC=2BC，∴VE=BC，VB=$\sqrt{5}$BC，∴BE=$\sqrt{2}$BC，
∴cos∠VBE=$\frac{5B{C}^{2}+2B{C}^{2}-B{C}^{2}}{2×\sqrt{5}BC×\sqrt{2}BC}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角B-DE-F的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．