Question

已知定義在R上的奇函數　f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，　f(x)＝.

(1)  求　f(x)在[－1,1]上的解析式；

(2)  證明：　f(x)在(0,1)上是減函數．

 

Answer 1

【答案】

(1)解：只需求出　f(x)在x∈(－1,0)和x＝±1，x＝0時的解析式即可，因此，要注意應用奇偶性和周期性，當x∈(－1,0)時，－x∈(0,1)．

∵　f(x)是奇函數，∴　f(x)＝－f(－x)＝－＝－，

由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1) ＝f(－1)＝－f(1)，

得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.

∴在區(qū)間[－1,1]上有

(2)證明：當x∈(0,1)時，　f(x)＝.

設0<x₁<x₂<1，f(x₁)－f(x₂)＝－＝.

∵0<x₁<x₂<1，∴2x₂－2x₁>0,2x₁＋x₂－1>0，∴f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)，

故　f(x)在(0,1)上單調遞減

【解析】略