Question

6．已知函數y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則當$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值時，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出A的坐標，代入直線mx+ny+1=0，可得2m+n=1，求出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值時m，n的值，結合隱含條件求出橢圓的半焦距，代入離心率公式得答案．

解答 解：∵y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（0，1），
∴函數y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A（-2，-1），
由點A在直線mx+ny+1=0上，得-2m-n+1=0，
∴2m+n=1，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$，
∵mn＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$$≥3\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}=3\sqrt{2}$．
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{\frac{n}{m}=\frac{2m}{n}}\end{array}\right.$，即m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=$\sqrt{2}-1$時上式等號成立．
∴${a}^{2}={n}^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}=3-2\sqrt{2}$，${c}^{2}={a}^{2}-^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}-（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
則${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\frac{1}{2}（3-2\sqrt{2}）}{3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了利用基本不等式求最值，考查橢圓的標準方程，訓練了利用橢圓標準方程求橢圓離心率的方法，是中檔題．