Question

將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄�橫坐標(biāo)不變），得到曲線C．設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線l：x=my+

3

與C交于A、B兩點，N為線段AB的中點，延長線段ON交C于點E．若

OE

=2

ON

，則m=（　�。�

• A．2

  2

• B．-2

  2

• C．8
• D．±2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄�橫坐標(biāo)不變），將圓O中y換為2y，變形后得到曲線C的方程，設(shè)A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），將曲線C與圓O方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出y₁+y₂，再由N為AB的中點，利用中點公式表示出N的縱坐標(biāo)，將N縱坐標(biāo)代入直線l方程中表示出橫坐標(biāo)，確定出N的坐標(biāo)，由

OE

=2

ON

，得到E的坐標(biāo)，將E坐標(biāo)代入曲線C方程中，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄�橫坐標(biāo)不變），
得到曲線C方程為x²+4y²=4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l與曲線C方程聯(lián)立得：

x=my+ 3 x2+4y2=4

，
消去x得：（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
∴y₁+y₂=-

2 3 m

m2+4

，
又N為AB的中點，設(shè)N（x₀，y₀），
∴y₀=

y1+y2

2

=-

3 m

m2+4

，
將y₀=

3 m

m2+4

代入方程得：x=m•（-

3 m

m2+4

）+

3

=

4 3

m2+4

，
∴N（

4 3

m2+4

，-

3 m

m2+4

），
∵

OE

=2

ON

，
∴E（

8 3

m2+4

，-

2 3 m

m2+4

），
將E坐標(biāo)代入x²+4y²=4得：（

8 3

m2+4

）²+4（-

2 3 m

m2+4

）²=4，
整理得：m⁴-4m²-32=0，
∴m²=8或m²=-4（舍去），
則m=±2

2

．
故選D

點評：此題考查了圓與橢圓方程的變換，橢圓與直線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，線段中點坐標(biāo)公式，以及平面向量的數(shù)量積運算，是一道綜合性較強的試題．