Question

橢圓G:=1(a＞b＞0)的兩個焦點F₁(-c,0)、F₂(c,0),M是橢圓上一點,且滿足=0.

(1)求離心率e的取值范圍.

(2)當離心率e取得最小值時,點N (0,3)到橢圓上的點的最遠距離為.

①求此時橢圓G的方程;

②(理)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,問A、B兩點能否關(guān)于過點P(0,)、Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由.

(文)設(shè)斜率為1的直線與橢圓G相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,點P的坐標為(0,),若直線PQ垂直平分弦AB,求AB所在的直線方程.

Answer 1

解:(1)設(shè)M(x₀,y₀),

∵M∈G,∴=1.①

又=0,

∴(x₀+c,y₀)·(x₀-c,y₀)=0.②                                                     

由②得y₀²=c²-x₀²代入①式整理,得x₀²=a²(2).

又0≤x₀²≤a²,

∴0≤a²(2)≤a².

解得()²≥,即e²≥.

又0＜e＜1,∴e∈［,1).                                                    

(2)①當e=時,設(shè)橢圓G方程為=1,

設(shè)H(x,y)為橢圓上一點,則

｜HN｜²=x²+(y-3)²=-(y+3)²+2b²+18,其中-b≤y≤b.

若0＜b＜3,則當y=-b時,｜HN｜²有最大值b²+6b+9.

由b²+6b+9=50,得b=-3±52(舍去);                                              

若b≥3,當y=-3時,｜HN｜²有最大值2b²+18.

由2b²+18=50,得b²=16.

∴所求橢圓方程為=1.                                               

②(理)設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),則由兩式相減,得x₀+2ky₀=0,③   

又直線PQ⊥直線l,∴直線PQ方程為y=,

將點Q(x₀,y₀)代入上式,得

y₀=.                                                        ④ 

由③④,得Q().                                                  

(法1)而Q點必在橢圓內(nèi)部,∴＜1.由此得k²＜.又k≠0,

∴＜k＜0或0＜k＜.

故當k∈(,0)∪(0,)時,A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱.           

(法2)∴AB所在直線方程為y+=k(xk).

由

得(1+2k²)x²k(1+2k²)x+(1+2k²)²-32=0.

顯然1+2k²≠0,

而Δ=［k(1+2k²)］²-4(1+2k²)［(1+2k²)²-32］

=-4(1+2k²)［(1+2k²)-32］.

∵直線l與橢圓有兩個不同的交點A、B，∴Δ＞0.

解得k²＜.又k≠0,

∴＜k＜0或0＜k＜.

故當k∈(,0)∪(0,)時,A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱.            

另解:設(shè)直線l的方程為y=kx+b,

由得(1+2k²)x²+4kbx+2b²-32=0,                                      (*)

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),則

x₀=,y₀=kx₀+b=.                                  ③ 

又直線PQ⊥直線l,∴直線PQ的方程為y=.

將Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=.                                    ④ 

將③代入④,得b=(1+2k²).                                            ⑤ 

∵x₁、x₂是(*)的兩根,

∴Δ=(4kb)²-4(1+2k²)(2b²-32)=8×16(1+2k²)-8b²≥0.                             ⑥ 

⑤代入⑥,得k²＜.

又k≠0,∴當k∈(,0)∪(0,)時,A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱.     

(文)設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),則由兩式相減,得x₀+2y₀=0.③     

又直線PQ⊥直線l,∴直線PQ的方程為y=-x+.

將點Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=-x₀+.④                                       

由③④,得Q(),                                                    

∴直線AB的方程為y+=1×(x),即x-y-=0.                         

另解:設(shè)直線l的方程為y=x+b,

由得3x²+4bx+2b²-32=0,                                          (*)

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),則

x₀=,y₀=x₀+b=,                                           ③ 

又直線PQ⊥直線l,∴直線PQ的方程為y=-x+.

將Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=-x₀+.④                                         

將③代入④,得b=.                                                     

此時,Δ=(4b)²-4×3(2b²-32)=-8b²+12×32=300＞0,

b=符合要求.                                                          

∴直線AB的方程為y=x,即x-y-=0.