Question

如圖所示，已知兩定點(diǎn)A（-6，0）和B（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P對(duì)線段AO、BO所張的角相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y），由∠APO=∠BPO，根據(jù)角平分線定理得=3，列出等式，化簡(jiǎn)整理即得.但應(yīng)注意曲線上的點(diǎn)與方程的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是否一一對(duì)應(yīng).

解：如圖所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y），由動(dòng)點(diǎn)P對(duì)線段AO、OB所張角相等，得∠APO=∠BPO，由角平分線定理，得=.

∴=3.整理得x²+y²-6x=0.

由方程可知圓過(guò)原點(diǎn)，但當(dāng)P和原點(diǎn)重合時(shí)無(wú)意義，∴x≠0.

∴所求方程為x²+y²-6x=0(x≠0).

又由題意可知P點(diǎn)落在x軸上除線段AB以外的任何點(diǎn)處均有∠APO=∠BPO=0°，∴又有方程y=0(x＜-6或x＞2).

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-6x=0(x≠0)或y=0(x＜-6或x＞2).

點(diǎn)撥：求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到“去”和“補(bǔ)”的問(wèn)題，當(dāng)所求的方程包括不合題意的點(diǎn)時(shí)，必須去掉，當(dāng)所求的方程不含其他合乎條件的點(diǎn)時(shí)，必須補(bǔ)出來(lái).