Question

已知定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)（、）過已知點．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）試證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；若函數(shù)在區(qū)間（其中）也是增函數(shù)，求的最小值；

（Ⅲ）試討論這個函數(shù)的單調(diào)性，并求它的最大值、最小值，在給出的坐標系（見答題卡）中畫出能體現(xiàn)主要特征的圖簡；

（Ⅳ）求不等式的解集．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）用定義法證明，的最小值為．（3），．（4）。

【解析】

試題分析：（1）由奇函數(shù)得，得，又過點得；所以，顯然可以發(fā)現(xiàn)它是一個奇函數(shù)．    （3分）

（2）設，有，

這樣就有，

即函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)

對于函數(shù)在區(qū)間（）也是增函數(shù)，

設，有；

這樣，欲使成立，

須使成立，從而只要就可以，所以，就能使函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；的最小值為．   （3分）

（3）由（2）可知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

由奇函數(shù)可知道，函數(shù)在區(qū)間也是增函數(shù)；

那么，在區(qū)間呢？設，有；這樣，就有成立，即，所以，函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)．                                 

這樣，就有，．

圖像如下所示．  （3分）

（4）因為，，由（3）知道函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，這樣，不等式可以化為，即；    

它的解集為．   （3分）

考點：函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性、最值；函數(shù)的圖片；

點評：（1）若f(x)是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)一定為0.（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：一設二作差三變形四判斷符號五得出結(jié)論，其中最重要的是四變形，最好變成幾個因式乘積的形式，這樣便于判斷符號。（3）解這類不等式的關鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”號。