Question

17．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，M，N分別為AC，BC的中點，且△BMC為正三角形．求證：
（1）MN∥平面ABD；
（2）平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出MN∥AB，由此能證明MN∥平面ABD．
（2）推導(dǎo)出AB⊥BD，MN⊥BD，MN⊥BC，從而MN⊥平面BCD，進(jìn)而MN⊥CD，AB⊥CD，再由AD⊥CD，得到CD⊥平面ABD，由此能證明平面ABD⊥平面ACD．

解答 證明：（1）∵M(jìn)，N分別為AC，BC的中點，
∴MN∥AB，∵M(jìn)N?平面ABD，AB?平面ABD，
∴MN∥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，M，N分別為AC，BC的中點，
∴MN∥AB，∴MN⊥BD，
∵△BMC為正三角形，N分BC的中點，∴MN⊥BC，
∵BC∩BD=B，∴MN⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，∴MN⊥CD，∴AB⊥CD，
∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．