Question

9．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x+a在（-1，0）上存在零點，命題q：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3a，x＞2}\\{x+2{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$的值域為R．
（1）若命題p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∧（￢q）是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＞0}\\{f（-1）=-1+a＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．對于命題q：由一次函數(shù)的單調(diào)性可得：4-3a≤2+2a²，解得a范圍．再利用復(fù)合命題真假的判定方法可得（1）（2）中的a的范圍．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x+a在（-1，0）上存在零點，則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＞0}\\{f（-1）=-1+a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1．
命題q：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3a，x＞2}\\{x+2{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$的值域為R，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得：4-3a≤2+2a²，解得a≥$\frac{1}{2}$或a≤-2．
（1）若命題p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（0，1）；
（2）若p∧（￢q）是真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{-2＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴實數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)、不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．