Question

已知函數f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取到極值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g（x）=ax-lnx．若對任意的x1∈[

1

2

，2]，總存在唯一的x2∈[

1

e2

，

1

e

]，使得g（x₂）=f（x₁），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中，函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)，易求出導函數的解析式，再由函數在x=1處取到極值2，其導函數在x=1處等0，易構造一個關于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）我們可以求出函數導函數的解析式，進而可分別出函數f（X）的單調性，由此易判斷f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的值域，由對任意的x1∈[

1

2

，2]，總存在唯一的x2∈[

1

e2

，

1

e

]，使得g（x₂）=f（x₁），及函數g（x）=ax-lnx．我們分別對a值與e及e²的關系進行分類討論，即可得到滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

m(n-x2)

(x2+n)2

f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，經檢驗，此時f（x）在x=1處取得極值．故f(x)=

4x

x2+1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，故f（x）在(

1

2

，1)上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，由f(1)=2，f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，故f（x）的值域為[

8

5

，2]
依題意g′(x)=a-

1

x

=

a(x- 1 a )

x

，記M=[

1

e2

，

1

e

]，∵x∈M∴e≤

1

x

≤e2
（�。┊攁≤e時，g'（x）≤0，g（x），依題意由

g( 1 e )≤ 8 5 g( 1 e2 )≥2

得0≤a≤

3

5

e，
故此時0≤a≤

3

5

e
（ⅱ）當e＜a≤e²時，

1

e

＞

1

a

＞

1

e2

當x∈(

1

e2

，

1

a

)時，g′（x）＜0，當x∈(

1

a

，

1

e

)時，g′（x）＞0．依題意由g(

1

a

)≤

8

5

，得1-ln

1

a

≤

8

5

，即a≤e

3

5

．與a＞e矛盾
（ⅲ）當a＞e²時，

1

a

＜

1

e2

，此時g′（x）＞0，g（x）．依題意得

a＞e2 g( 1 e )≥2 g( 1 e2 ≤ 8 5

即

a＞e2 a e +1≥2 a e2 +2≤ 8 5

此不等式組無解綜上，所求a取值范圍為0＜a≤

3

5

e

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，函數解析式的求解及常用方法，函數在某點取得極值的條件，其中根據已知條件構造關于m的方程，進而求出函數f（x）的解析式是解答的關鍵．