Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．
（i）無(wú)論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實(shí)數(shù)m的值．
（ii）過(guò)P、Q作直線x=

1

2

的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義，可判斷所求軌跡為雙曲線的右支，再分別求出雙曲線中的a，b的值，就可得到軌跡E的方程．
（2）（i）先設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)l與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)求出斜率k的范圍．設(shè)出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，因?yàn)镸P⊥MQ恒成立，所以恒有

MP

•

MQ

=0，再把

MP

，

MQ

用含P，Q．M點(diǎn)坐標(biāo)的式子表示，根據(jù)

MP

•

MQ

=0即可求出m的值，在驗(yàn)證若直線l的斜率k不存在時(shí)，m的值仍然成立．
（ii）方法一：先判斷直線 x=

1

2

是雙曲線的右準(zhǔn)線，利用雙曲線的第二定義，把|PA|+|QB|用|PQ|表示，再用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|PQ|的長(zhǎng)度，得到用P，Q橫坐標(biāo)表示的PA|+|QB|，|AB|也用A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，這樣λ=

|PA|+|QB|

|AB|

中就可消掉
x₁，x₂，得到λ用含k的式子表示，再根據(jù)前面求出的k的范圍，求出λ的范圍即可．
方法二：和方法一類似，先把|PA|+|QB|用|PQ|表示，這樣λ=

|PA|+|QB|

|AB|

就可用直線PQ的傾斜角的三角函數(shù)表示，再根據(jù)前面求出的直線l的斜率k的范圍求出傾斜角的范圍即可．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，故軌跡E的方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3
（i）∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．
∵M(jìn)P⊥MQ，
∴

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對(duì)任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴當(dāng)m=-1時(shí)，MP⊥MQ．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結(jié)論也成立，
綜上，當(dāng)m=-1時(shí)，MP⊥MQ．
（ii）∵a=1，c=2，
∴直線 x=

1

2

是雙曲線的右準(zhǔn)線，
由雙曲線定義得：|PA|=

1

e

|PF2|=

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF2|，
方法一：∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y 1|

=

1+k2 |x2-x1|

2|k(x2-x1)|

=

1+k2

2|k|

=

1

2

1+ 1 k2

．
∵k²＞3，∴0＜

1

k2

＜

1

3

，故

1

2

＜λ＜

3

3

，
注意到直線的斜率不存在時(shí)，|PQ|=|AB|，此時(shí)λ=

1

2

，
綜上，λ∈[

1

2

，

3

3

)．
方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

，過(guò)Q作QC⊥PA，垂足為C，則∠PQC=|

π

2

-θ|，
∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

|PQ|

2|CQ|

=

1

2cos( π 2 -θ)

=

1

2sinθ

．
由

π

3

＜θ＜

2π

3

，得

3

2

＜sinθ≤1，
故：λ∈[

1

2

，

3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法求軌跡方程，以及直線與雙曲線相交位置關(guān)系的判斷，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．