Question

【題目】定義區(qū)間、、、的長度均為，已知不等式的解集為.

（1）求的長度；

（2）函數(shù)（，）的定義域與值域都是（），求區(qū)間的最大長度；

（3）關于的不等式的解集為，若的長度為6，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

解不等式得其解集即得區(qū)間長度.(2) 由題意求出f（x）的定義域并化簡解析式，判斷出

區(qū)間的范圍和f（x）的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為m，n是方程f（x）的同號的相

異實數(shù)根，利用韋達定理表示出mn和m+n，由判別式大于零求出a 的范圍，表示出n﹣m

利用配方法化簡后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值．(3)先求出A∩B（0，6），再

轉(zhuǎn)化為不等式組，當x∈（0，6）時恒成立. 分析兩個恒成立問題即得t

的取值范圍.

解不等式得其解為-1≤x＜6，所以解集A區(qū)間長度為6-(-1)=7.

(2) 由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}，

∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．

∵f（x）=在[m，n]上是增函數(shù)，

∴由條件得，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根，

即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．

∴mn=，m+n==，

則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．

∴n﹣m===

=，

∴n﹣m的最大值為，此時，解得a=3.

即在區(qū)間[m，n]的最大長度為．

(3) 因為x>0,A=[-1,6），的長度為6，所以A∩B（0，6）.

不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等價于

又A∩B（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，所以不等式組，

當x∈（0，6）時恒成立.

當x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0

當x∈（0，6）時，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立

當x∈（0，6）時，的取值范圍為，所以實數(shù)

綜上所述，t的取值范圍為