Question

已知圓C的方程為（x-4）²+（y-5）²=10，平面上有一點P（2，1）
（1）若過P的直線與圓C恒有公共點，求l的斜率k的取值范圍；
（2）設Q為圓上一動點，O為坐標原點，試求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心（4，5）到直線l的距離小于或等于半徑，求得k的范圍．
（2）由于OP=

5

，要使△OPQ面積的最大，只要點Q到直線OP的距離最大．設與OP平行的直線方程為x-2y+c=0，根據(jù)圓心（4，5）到直線x-2y+c=0的距離等于半徑，求得c的值，可得△OPQ面積取得最大值

解答： 解：（1）∵過P的直線與圓C恒有公共點，l的斜率k，
則直線l的方程為 y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0．
根據(jù)圓心（4，5）到直線l的距離小于或等于半徑，
可得

|4k-5+1-2k|

k2+1

≤

10

，求得 k≤-3，或k≥

1

3

．
（2）由于OP=

5

，要使△OPQ面積的最大，只要點Q到直線OP：x-2y=0的距離最大．
設與OP平行的直線方程為x-2y+c=0，根據(jù)圓心（4，5）到直線x-2y+c=0的距離等于半徑，
可得

|4-10+c|

5

=

10

，求得c=6±5

2

．
故當c=6+5

2

時，△OPQ面積取得最大值為

1

2

•

5

•（6+

5

）=

5+6 5

2

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，屬于基礎題．