Question

設(shè)x₁、x₂(x₁≠x₂)是函數(shù)f(x)＝ax³＋bx－a²x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)若x₁＝－1，x₂＝2，求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若，求b的最大值．

(3)若x₁＜x＜x₂，且x₂＝a，函數(shù)，

求證：．

Answer 1

答案：
解析：

解：……1分 　　(1)∵x1＝－1，x2＝2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)， 　　∴，．……2分 　　∴3a－2b－a2＝0，12a＋4b－a2＝0，解得a＝6，b＝－9．……3分 　　∴f(x)＝6x3－9x2－36x．……4分 　　(2)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，∴． 　　∴x1，x2是方程3ax2＋2bx－a2＝0的兩根． 　　∵△＝4b2＋12a3，∴△＞0對(duì)一切a＞0，b∈R恒成立．，， 　　∵a＞0，∴x1·x2＜0． 　　∴．……6分 　　由得，∴b2＝3a2(6－a)．……7分 　　∵b2≥0，∴3a2(6－a)≥0，∴0＜a≤6．……8分 　　令h(a)＝3a2(6－a)，則． 　　當(dāng)0＜a＜4時(shí)，，∴h(a)在(0，4)內(nèi)是增函數(shù)； 　　當(dāng)4＜a＜6時(shí)，，∴h(a)在(4，6)內(nèi)是減函數(shù)．……9分 　　∴當(dāng)a＝4時(shí)，h(a)有極大值為96，∴h(a)在上的最大值是96， 　　∴b的最大值是．……10分 　　(3)證法一：∵x1，x2是方程的兩根， 　　∴，……11分 　　∴……12分 　　∵x1＜x＜x2，∴x－x1＞0，x－x2＜0， 　　∴． 　　∵，x2＝a，∴． 　　∴．……14分 　　證法二：∵x1，x2是方程的兩根， 　　∴，……11分 　　∵，x2＝a，∴． 　　∴ 　　∵x1＜x＜x2， 　　∴……12分 　　 　　．……14分