Question

6．設(shè)點A（1，2），非零向量$\overrightarrow a=（{m，n}）$，若對于直線3x+y-4=0上任意一點P，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow a$恒為定值，則$\frac{m}{n}$=3．

Answer 1

分析 設(shè)點P（x，y），由點P為直線上的任意一點，表示出向量$\overrightarrow{AP}$，由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$恒為定值，求出m、n的關(guān)系，再計算$\frac{m}{n}$．

解答 解：設(shè)點P（x，y），
∵點P為直線3x+y-4=0上的任意一點，
∴y=4-3x，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-1，2-3x）；
又非零向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$=m（x-1）+n（2-3x）=（m-3n）x+（2n-m），且恒為定值，
∴m-3n=0，即m=3n；
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3n}{n}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，是中檔題．