Question

4．某班同學(xué)在暑假期間進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，從本地[25，55]歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行
了一次有關(guān)“房地產(chǎn)投資”的調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖：

組數(shù)	分組	房地產(chǎn)投資的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	P
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）求n，a，p的值；
（Ⅱ）從年齡在[40，50）歲的“房地產(chǎn)投資”人群中采取分層抽樣法抽取9人參加投資管理學(xué)習(xí)活動(dòng)，并從中選取3人作為代表發(fā)言，記選取的3名代表中年齡在
[40，45）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出年齡在[25，30）歲的總?cè)藬?shù)，根據(jù)頻率分布直方圖，求出抽取的人數(shù)，進(jìn)而求出年齡在[40，45）歲的人數(shù)，由此能求出n，a，p．
（Ⅱ）依題意，抽取年齡在[40，45）歲的有6人，抽取年齡在[45，50）歲的有3人，則X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）年齡在[25，30）歲的總?cè)藬?shù)為$\frac{120}{0.6}=200$，
根據(jù)頻率分布直方圖，抽取的人數(shù)為n=$\frac{200}{5×0.04}$=1000，
∴年齡在[40，45）歲的人數(shù)為1000×5×0.03=150，
∴a=150×0.4=60．
∵年齡在[30，35）歲的人數(shù)的頻率為1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
∴年齡在[30，35）歲的人數(shù)為1000×0.3=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65．
（Ⅱ）依題意，抽取年齡在[40，45）歲的有6人，抽取年齡在[45，50）歲的有3人，
則X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{20}{84}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{48}{84}$	$\frac{20}{84}$

EX=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{18}{84}+2×\frac{45}{84}+3×\frac{20}{84}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列及期望，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．