Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2）上是遞增函數(shù)，g（x）=x-在（0，1）上為減函數(shù)．
（1）求f（x），g（x）的表達式；
（2）求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）當b＞-1時，若f（x）在x∈（0，1）內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知：在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2，
又在（0，1]上恒成立，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2．
（2）．f（x）=g（x）+2，
則，
解得h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增?h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0時只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立，在（0，1]上恒成立．
設(shè)，則，
∵0＜x≤1?x²-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]單調(diào)遞減，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴．
分析：（1）在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2，在（1，2]上恒成立，由此知f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-．
（2）f（x）=g（x）+2，由函數(shù)的單調(diào)性能導(dǎo)出方程f（x）=g（x）+2在x＞0時只有唯一解．
（3）f（x）在（0，1]上恒成立在（0，1]上恒成立．由此能導(dǎo)出b的取值范圍．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．