Question

1．設S_n是數列{a_n}的前n項和，且a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+1=S_nS_n+1，則S_n=$-\frac{1}{n}$或$\frac{1}{3-n}$．

Answer 1

分析 通過a_n+1=S_n+1-S_n=S_nS_n+1，并變形可得數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是公差為-1的等差數列，把a₂=$\frac{1}{2}$代入條件式得出a₁，求出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通項公式，從而可得S_n．

解答 解：∵a_n+1=S_nS_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$．
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是公差為-1的等差數列．
∵a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+1=S_nS_n+1．∴$\frac{1}{2}$=a₁（a₁+$\frac{1}{2}$），
解得a₁=-1或a₁=$\frac{1}{2}$．
當a₁=-1時，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n，∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
當a₁=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）×（-1）=-n+3，∴S_n=$\frac{1}{3-n}$．
故答案為：$-\frac{1}{n}$或$\frac{1}{3-n}$．

點評 本題考查求數列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．