Question

(本小題12分)

如圖,拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與橢圓的長半軸相等,設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為在第一象限的交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),且的面積為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),射線分別交于兩點(diǎn).

(I)求證:點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部;

(II)記的面積分別為,問是否存在直線,使得?請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) (I)見解析；(II) 不存在直線使得

【解析】(I)由拋物線方程可知橢圓的長半軸長a=2,再由,從而可求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程可求出b²,從而求出橢圓的方程.

(2)(I) 證明點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部，需證，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102513054400007103/SYS201210251307259531555632_DA.files/image009.png">只需證明即證,然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理來解決即可.

解;(1),得橢圓的長半軸

.代入拋物線求得

橢圓方程為

(2)(I)設(shè)直線的方程為:,由得

設(shè)

又點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部

(II),直線的斜率為

直線的方程為.由得

,

不存在直線使得