Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)），x∈R，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，設m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)為偶函數(shù)，可得f（x）=ax²+1，進而F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，結合m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0，可得結論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+1是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
即b=0，
∴f（x）=ax²+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，
∵m＞0，n＜0，m+n＞0，
則m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-（an²+1）=a（m²-n²）＞0，
即F（m）+F（n）能大于零．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，二次函數(shù)的性質，分段函數(shù)的應用，難度中檔．