Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）

（Ⅰ）證明：連結(jié)．


因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021018301.gif" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021003260.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以．……………………………………………………………………3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021720416.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面．……………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021798262.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以．…………………………7分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021003260.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以．
因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133021018301.gif" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133022032412.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面，所以．…………………………………………10分
過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連結(jié)．
由于，
所以平面．
所以．
故是二面角的平面角．………………………………………12分
在中，，，可求得．
在中，，，可求得．
所以．
即二面角的余弦值為．…………………………………………14分
解法（二）（Ⅰ）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，，
，
．…………………3分
．
所以．即．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
設(shè)平面的法向量為，則由
，，得
 即
取，得．……………………………………………………………11分
易知平面的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為．
則．
即二面角的余弦值為．