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【題目】已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B.點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，且直線與直線垂直.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線交C于M，N兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過點(diǎn).

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系、直線垂直的斜率關(guān)系求解即可.

(2)先分析當(dāng)直線的斜率為0時是否滿足，再分析當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓得出韋達(dá)定理，再計(jì)算可得即可證明.

（1）因?yàn)?/span>A為橢圓的上頂點(diǎn)，所以，

則直線的斜率.

因?yàn)?/span>與直線垂直，所以，解得.

設(shè)C的焦距為，因?yàn)?/span>C的離心率為，所以，.

則，所以.

所以C的方程為.

（2）由（1）知，.

當(dāng)直線的斜率為0時，線段即為C的長軸，M或N與B重合，

則以為直徑的圓過點(diǎn)B.

當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)其方程為.

聯(lián)立，消去x得，

整理得，設(shè)，.

則，.

那么

，

所以.

所以，即以為直徑的圓過點(diǎn)B.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)的天日落和夜晚天氣，得到如下列聯(lián)表：

夜晚天氣日落云里走

下雨

未下雨

出現(xiàn)

未出現(xiàn)

參考公式：.

臨界值表：

（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為“當(dāng)晚下雨”與“‘日落云里走’出現(xiàn)”有關(guān)？

（2）小波同學(xué)為進(jìn)一步認(rèn)識其規(guī)律，對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)從上述調(diào)查的“夜晚未下雨”天氣中按分層抽樣法抽取天，再從這天中隨機(jī)抽出天進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，求抽到的這天中僅有天出現(xiàn)“日落云里走”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為， 點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)， 軸， 為垂足， 為線段中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)， 為線段的中點(diǎn)，若四邊形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示，給出四個函數(shù)：①，②，③，④，又給出四個函數(shù)的圖象，則正確的匹配方案是（ ）．

A.①－甲，②－乙，③－丙，④－丁B.②－甲，①－乙，③－丙，④－丙

C.①－甲，③－乙，④－丙，②－丁D.①－甲，④－乙，③－丙，②－丁

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，如圖，為線段上一點(diǎn)，且，求的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】采購經(jīng)理指數(shù)（PMⅠ）是衡量一個國家制造業(yè)的“體檢表”，是衡量制造業(yè)在生產(chǎn)、新訂單、商品價格、存貨、雇員、訂單交貨新出口訂單和進(jìn)口等八個方面狀況的指數(shù)，圖為2018年9月—2019年9月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)（單位：%）．

（1）求2019年前9個月我國制造業(yè)的采購經(jīng)理指數(shù)的平均數(shù)（精確到0.1）；

（2）從2018年10月—2019年9月這12個月任意選取4個月，記采購經(jīng)理指數(shù)與上個月相比有所回升的月份個數(shù)為X，求X的分布列與期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，將曲線繞極點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線.

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線：與，分別相交于異于極點(diǎn)的，兩點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地一條主于道上有46盞路燈，相鄰兩盞路燈之間間隔30米，有關(guān)部門想在所有相鄰路燈間都新添一盞，假設(shè)工人每次在兩盞燈之間添新路燈是隨機(jī)，并且每次添新路燈相互獨(dú)立.新添路燈與左右相鄰路燈的間隔都不小于10米是符合要求的，記符合要求的新添路燈數(shù)量為，則（ ）

A.30B.15C.10D.5

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